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부동 소수점

tkxx_ls 2024. 7. 30. 17:34

부동 소수점은 고정 소수점과 다르게 소수점의 위치를 고정하지 않고 소수점의 위치를 나타내는 수를 따로 저장하는 방식으로, 유효숫자를 나타내는 가수와 소수점의 위치를 나타내는 지수부로 나누어 표현합니다.

 

 

정규화

부동 소수점 표현 방식은 수를 (가수) × (밑수)^(지수)와 같이 유효숫자를 사용한 곱셈 형태로 표현합니다.

예를 들어, 123.45를 밑수가 10인 부동 소수점으로 나타내면 12.345 * 10^1이 되는데, 가수 부분을 한자리 자연수를 갖도록 바꾸면 1.2345 * 10^2와 같이 됩니다. 이처럼 가수의 첫째 자리가 밑수보다 작은 한자리 자연수가 되도록 바꾸는 것을 정규화라고 합니다.

부동 소수점 변환 예시

 

밑수가 10인 경우에 로마자 E 또는 e를 사용하여 함수 형태로 표시하기도 하는데, -0.4는  -4E-1 또는 -4e-1로 씁니다.

사용할 밑수를 미리 정해 놓는다면 가수와 지수만으로 실수를 표현할 수 있는데, 밑수를 10으로 고정한다면 실수 -0.4는 가수 -4와 지수 -1의 조합으로 나타낼 수 있습니다.

 

보다 정형화된 형태로는 가수부와 지수부의 자릿수를 고정할 수 있는데, 부호, 가수부 5자리, 지수부 3자리로 하는 형식이라면 앞의 값 -0.4는 '부호 -, 가수 40000, 지수 -005'로 나타낼 수 있습니다.

밑수가 2일 때에 정규화 결과 가수의 첫째 자리는 항상 1이 되므로 생략하면 가수부에 1자리를 더 표시할 수 있게 되므로, 처리할 수 있는 유효숫자가 1자리만큼 늘어납니다. 0.4를 2로 정규화하게 되면 1.6 × 2^-2가 되며, 위의 정형화된 방식으로 표현하면 '부호 +, 가수 60000, 지수 -002'가 됩니다.

 

Bias

지수부에는 따로 부호 비트가 없기 때문에 음수 지수를 처리하기 위해 bias를 사용합니다. 즉, 할당된 비트로 표현 가능한  최댓값을 반으로 나누어, 최댓값의 절반보다 작은 값에는 음수값, 절반과 같은 값에는 0, 절반보다 큰 수에는 양수값이 차례대로 1:1 대응되도록 합니다.

예를 들어, 지수부를 8비트로 표현한다면 모두 256가지 수를 나타낼 수 있는데 이것을 반으로 나누어 -127, 0, 128개를 차례대로 대응시킬 수 있습니다. 따라서, 비트열 00000000은 지수 -127을 나타내고, 01111111 (127)은 지수 0, 11111111 (255)은 지수 128을 나타냅니다.

지수부의 모든 자리가 모두 0 또는 1인 경우는 각각 0 또는 무한대를 나타내는 등 특수한 목적으로 예약되어 있는 경우도 있습니다.

 

정확성

부동 소수점은 고정 소수점과 마찬가지로 0.1, 0.01과 같은 10진 소수를 표현하게 되면 순환 소수가 되기 때문에 정확한 값을 저장할 수 없고, π 와 같은 무리수 또한 정확히 표현할 수 없습니다.

 

또한 연산에서도 문제가 생깁니다.

교환 법칙은 성립하지만, 결합 법칙, 분배 법칙은 성립하지 않을 때도 있습니다.

나눗셈에서 제수가 0이 아님을 보장할 수 없고, 거의 같은 수를 뺄 때 0이 안되는 경우도 있습니다.

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    
    double a = 1.1, b = 1.2;

    cout << ((a + a + b) == (a + b + a)) << endl;
    cout << (a + b == b + a) << endl;
    
    return 0;
}

/* 교환 법칙, 결합 법칙 예시
 * 
 * 위에 같은 경우에는 왼쪽 항에서 a + a 부터 연산하고
 * 오른쪽 항에서는 a + b 부터 계산합니다. 
 * 따라서 0을 출력하게 됩니다.
 * 결합 법칙 X
 * 
 * 아래 같은 경우는 1을 출력하게 됩니다
 * 교환 법칙 O
 */

 

따라서 정확한 연산이 필요한 경우, 부동 소수점으로 연산하면 안됩니다.

 

부동 소수점 장단점

장점

  1. 넓은 표현 범위: 부동 소수점 표현은 매우 큰 수와 매우 작은 수를 모두 표현할 수 있습니다.
  2. 정밀도 조절 가능: 가수부의 자릿수를 조정하여 계산의 정밀도를 조절할 수 있습니다.
  3. 표준화: IEEE 754 표준에 의해 정의되어 있어, 다양한 시스템과 프로그래밍 언어에서 일관된 방식으로 부동 소수점 을 표현할 수 있습니다..

단점

  1. 반올림 오류: 부동 소수점 연산에서는 반올림 오류가 발생할 수 있습니다.
  2. 정확성: 모든 연산에서 정확하지 않습니다.
  3. 속도: 부동 소수점 연산은 정수 연산보다 더 느릴 수 있습니다.
  4. 일관성 부족: 서로 다른 시스템이나 컴파일러에서 부동 소수점 연산 결과가 약간 다를 수 있습니다.
  5. 메모리 사용: 부동 소수점 숫자는 정수에 비해 더 많은 메모리를 필요로 합니다. 예를 들어, 단일 정밀도 부동 소수점 숫자는 32비트를 사용하고, 배정밀도 부동 소수점 숫자는 64비트를 사용합니다.